مسابقات في الرياضيات
- قانون نظرية فيثاغورس المشهورة
- قتيبة بن مسلم الباهلي
قانون نظرية فيثاغورس المشهورة
متطابقة فيثاغورس المثلثية ، تسمى أيضًا متطابقة فيثاغورس المثلثية الأساسية [1] أو ببساطة متطابقة فيثاغورس ، هي متطابقة تعبر عن مبرهنة فيثاغورس بدلالة الدوال المثلثية. جنبا إلى جنب مع صيغ مجموع الزوايا ، فهي واحدة من العلاقات الأساسية بين دالتي الجيب وجيب التمام. المتطابقة هي:
يجب الانتباه إلى هذا الترميز sin 2 θ يكافئ. قانون فيثاغورس. البراهين وعلاقاتهم بمبرهنة فيثاغورس [ عدل]
تُظهِر المثلثات القائمة المتشابهة جيب وجيب تمام الزاوية θ
برهان باستخدام مثلث قائم [ عدل]
أي مثلثات متشابهة لها خاصية أنه إذا حددنا نفس الزاوية في كل منهم، فإن نسبة الضلعين التي تحدد الزاوية هي نفسها بغض النظر عن أي مثلث مماثل يتم تحديده، بغض النظر عن حجمه الفعلي: تعتمد النسب على الزوايا الثلاثة، وليس أطوال الأضلاع. وبالتالي بالنسبة لأي من المثلثات القائمة المتشابهة في الشكل، فإن نسبة ضلعه الأفقي إلى وتره هي نفسها، أي cos θ. التعريفات الأولية لدالتي الجيب وجيب التمام بدلالة أضلاع المثلث القائم هي:
sin θ = المقابل الوتر = b c
cos θ = المجاور الوتر = a c
تتبع متطابقة فيثاغورس بتربيع كلا التعريفين أعلاه، وجمعهما؛ ثم يصبح الطرف الأيسر للمتطابقة:
المقابل 2 + المجاور 2 الوتر 2
والتي تساوي 1 حسب مبرهنة فيثاغورس؛ وهذا التعريف صالح لجميع الزوايا باستخدام تعريف بواسطة دائرة الوحدة.
في الصف الثامن تعلمنا المثلثات بما في ذلك المثلثات القائمة الزاوية، وهي المثلثات التي لها زاوية قائمة مقدارها °90. أيضا تعلمنا حساب القوى و الجذور التربيعية في الأقسام السابقة في الصف التاسع. في هذا القسم سنتعرف على نظرية فيثاغورس، وهي نظرية رياضية مفيدة جدا تتعلق بالمثلثات القائمة الزاوية. إستخدام نظرية فيثاغورس يتضمن عملية حساب كل من القوى (الأُسُس) و الجذور التربيعية ، كما تعلمنا في أحد الأبواب السابقة. نظرية فيثاغورس
المثلث القائم الزاوية هو مثلث به زاوية قائمة مقدارها °90. هنالك أسماء خاصة عادة ما تستخدم لتسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية. يسمى الضلعين المتقابليّن عند عند الزاوية القائمة بالضلعين القائميّن بينما يسمى الضلع الثالث بالوَتَر. في الصورة التالية الضلع c هو وَتَر المثلث القائم الزاوية والضلعين a و b هما ضلعي المثلث القائميّن. قانون نظرية فيثاغورس الشهير. تَنص نظرية فيثاغورس على أن أي مثلث قائم الزاوية ترتبط أضلاعه بالعلاقة التالية:
\( {c}^{2}={b}^{2}+{a}^{2}\)
أي أن مجموع مُربعي الضلعين القائميّن يساوي مربع الوَتَر. حيث أن a و b هما أطوال الضلعيّن القائميّن و c هو طول الوَتَر. أُخذ اسم نظرية فيثاغورس من اسم عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس الذي عاش منذ حوالي 2500 عام في الماضي.
وكانت سنة 91هـ مليئةً بالحروب التي قام بها قتيبة بن مسلم؛ لأن الثورة التي قام بها نيزك لم تقتصر فقط على مناطق طُخارستان بل أنها امتدت لبلاد ما وراء النهر، فقام قتيبة بجمع عدد كبير من الجنود من مدن خراسان، وذهب بهم إلى المدن التي قامت بإعلان التمرد والعصيان، فقام أغلبها بالإستسلام بدون أن يتم أي قتال فيها، وولّى عليها حُكاماً عرب. استطاع قتيبة بن مسلم أن يعبر شُعب خُلم حتى يصل إلى القلعة التي يتحصَّن بها نيزك، وذلك رغم أنها كانت مرتفعة ومحصنة بشكل عظيم، وتم إطلاق لقب قلعة الشمس؛ عليها بسبب إرتفاعها الشاهق، ولم يتقدم الجيش إلا بعد أن أخبر أحد الحكام المحليين عن وجود طريق سري للقلعة، فقام نيزك بالهروب إلى الشمال، وعبر نهر فرغانة وقام قتيبة باتباعه حتى وصل لمكان يُدعى الكرز. حاصر قتيبة نيزك في الكرز لمدة تقارب الشهرين، وقد عانى من الجوع والمرض واستسلم حينها بعد أن منحه قتيبة الأمان، ولكن قتيبة قام بقتل نيزك وصلبه بعد أن طلب الأمر من الحجاج بن يوسف رغم الأمان الذي أعطاه له. قيام قتيبة بن مسلم بإخماد الثورات: قام قتيبة بن مسلم بمهاجمة مدن شومان وكش ونسف؛ لأن ملوكها قاموا بإعلان التمرد ضده، وطردوا العمال العرب الذين قام قتيبة بتعيينهم، ففتح المدن جميعها، وقبل أن يعود لمرو قام بإرسال أخيه عبد الرحمن بن مسلم إلى طرخون ملك الصغد؛ حتى يقوم بقبض الفدية منه والتي تم الإتفاق عليها عند الصلح، فقبضها والتحق بأخيه إلى مرو.
قتيبة بن مسلم الباهلي
وفاة قتيبة بن مسلم حارب قتيبة ثلاث عشرة سنة لم يضع فيها السلاح، وقد كان قتيبة بن مسلم من قادة الحجاج بن يوسف الثقفي؛ فقد كان يعلم مقدار كراهية سليمان بن عبد الملك للحجاج، فلمَّا ولي الخلافة خشي قتيبة من انتقامه؛ لأنه وقف إلى جانب الوليد بن عبد الملك حين أراد أن يخلع أخاه سليمان من ولاية العهد ويجعلها لابنه؛ ولذلك عزم قتيبة على الخروج على سليمان، وجمع جموعًا لذلك من رجاله وأهل بيته، لكنَّ حركته فشلت، وانتهت بقتله في بلد اسمها فرغانة سنة (96هـ= 715م) على يد وكيع بن حسان التميمي، وقيل: إنه لم يتمرَّد، ولكن وقع ضحية مؤامرة حاكها بعض الطامعين بالولاية.
سار قتيبة بن مسلم على الخطَّة نفسها التي سار عليها آل المهلب، وهي خطة الضربات السريعة القوية المتلاحقة على الأعداء، فلا يترك لهم وقتًا للتجمُّع أو التخطيط لردِّ الهجوم على المسلمين، ولكنَّه امتاز عن آل المهلب بأنه كان يضع لكل حملة خطَّة ثابتة لها هدف ووجهة محدَّدة، ثم يُوَجِّه كلَّ قوَّته للوصول إلى هدفه.