3
4
5. أمثلة محلولة لحساب حجم المنشور الرباعي
احسب حجم منشور رباعي قاعدته على شكل مستطيل، أطوال ضلعيه 6 سم و8 سم، وارتفاعه 4 سم، ثم قم بإيجاد مساحة سطحه الكلية. حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة * ارتفاع المنشور مساحة القاعدة المستطيلة = الطول * العرض مساحة القاعدة المستطيلة = 6 * 8 = 48 سم 2 فيصبح حجم المنشور الرباعي = 48 * 4 = 192 سم 3. مساحة المنشور الرباعي= مساحة القاعدتين + مساحة الوجوه الجانبية. مساحة القاعدة = الطول * العرض= 48 سم 2. الوجوه الجانبية عبارةً عن أربعة وجوهٍ، كل اثنانٍ منها متطابقان، فيكفي حساب اثنين منها المختلفان فيما بينهما، ثم ضرب المساحة الناتجة باثنين لكلٍ منهما. مساحة الوجه الجانبي الأول = الطول * العرض = 4 * 6 = 24 سم 2 مساحة الوجه الجانبي الثاني= الطول * العرض = 8 * 4 = 32 سم 2 بذلك تكون المساحة الجانبية = 2 (24) +2 (32) المساحة الجانبية الكلية = 112 سم 2. المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 112 + 2 * 48 المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 208 سم 2 المطلوب حساب حجم منشور رباعي، قاعدته على شكل مستطيل، بحيث: طول ضلعي قاعدتيه 7 و9 سم، وارتفاع المنشور 13 سم. حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة * الارتفاع مساحة القاعدة = الطول * العرض = 9 * 7= 63 سم 2 ومنه حجم المنشور الرباعي = 63 * 13= 819 سم 3.
مساحه سطح المنشور الرباعي
أشكال المنشور
يوجد بعض الأنواع من المنشور تتوقف على هيئة قاعدته ، وأشكال المنشور هي:-
المنشور الرباعي. المنشور الثلاثي. المنشور الخماسي. المنشور السداسي. المنشور الرباعي ربما يكون شكل قاعدته مربعة أو مستطيلة ، هذا بالإضافة إلى وجود نوعان آخران من المنشور وهما ( المنشور القائم ، والمنشور المائل) ، نجد في المنشور القائم أن الأوجه والأطراف التي تصل بين الأوجه تكون بشكل عمودي على القاعدة ، وتكون كافة الأوجه الجانبية في هيئة مستطيلة ، أما فيما يتعلق بالمنشور المائل فلا تكون الأوجه الخاصة به والأطراف على هيئة عمود وتكون الأوجه الجانبية له على صورة متوازي أضلاع. ووفقاً لما سبق فإننا يمكن أن نقول أن متوازي المستطيلات عبارة عن منشور رباعي ، وأيضاً يمكن اعتبار المكعب حالة من حالات المنشور الرباعي ، ففيه تتماثل الأوجه مع القاعدة. مساحة سطح المنشور الرباعي
مساحة سطح المنشور الرباعي: نستطيع أن نحسب المساحة الإجمالية الشكل ثلاثي الأبعاد عن طريق احتساب مجموع مساحة كافة الأوجه بالإضافة إلى القاعدتين ، ومن خلال ذلك يمكننا احتساب مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة والأوجه المستطيلة ، ويمكن ذلك من خلال تطبيق الخطوات التالية:-
احتساب إجمالي المساحة المنشور الرباعي = يكون عبارة عن مجموع مساحة القاعدتين مضافاً إليه مجموع المساحة الجانبية ( أي المساحة الكلية الأوجه الجانبية).
مساحة سطح المنشور الرباعي
[٤]
تمثل مساحة سطح المنشور عمومًا مجموع مساحتي قاعدتيه مُضافًا إليها مجموع مساحات أوجهه الجانبية، [٥] كما يمكن التعبير عن قانون مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة بأنّه ضعف مساحة إحدى قاعدتيه المربعتين، مضافًا إلى المساحة السطحية الجانبية خاصته، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة رياضيًا كما هو موضح أدناه: [٦] مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه،
ويُصاغ ذلك بالرموز كالآتي: [٦] م = 2 × ض 2 + 4 × (ض × ع)
م: مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة بوحدة سم 2. ض: ضلع القاعدة المربعة بوحدة سم. أمثلة على حساب مساحة سطح منشور رباعي بقاعدة مربعة
إذا كان طول ضلع قاعدة المنشور وارتفاعه معلومين
إذا كان طول ضلع قاعدة منشور رباعي 4 سم وارتفاعه 5 سم، احسب مساحة سطحه الكلية إذا علمت أن قاعدته مربعة الشكل. كتابة القانون، مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه. وبالرموز: م = 2 × ض 2 + 4 × (ض × ع). تعويض المعطيات، م = 2 × (4) 2 + 4 × (4 × 5). إيجاد الناتج، م = 112 سم 2. إذا كانت مساحة سطح المنشور وطول قاعدته معلومين
إذا كانت مساحة سطح منشور رباعي ذي قاعدة مربعة تساوي 192 سم 2 ، وكان طول ضلع قاعدته يساوي 4 سم، فاحسب ارتفاعه.
وعلى هذا فإن المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي يمتلك قاعدة مربعة هي: ارتفاع المنشور x طول ضلع القاعدة 4x ( وهي عدد أوجه المنشور). وهناك طريقة أخرى لإيجاد المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي يمتلك قاعدة مربعة وهي ضرب ارتفاعه في محيط القاعدة، أي طول ضلع القاعدة 4x ( وهي عدد أضلاع القاعدة الرباعية). وعلى هذا فإن المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي يمتلك قاعدة مربعة هي: محيط القاعدة المربعة x الارتفاع+ 2 x مساحة القاعدة المربعة. أما عن قانون المساحة الكلية للمنشور الرباعي ذو أوجه وقاعدة مربعة (المكعب) فهو: 6×طول ضلع المكعب2. مثال: إذا كان هناك منشور رباعي ذو قاعدة مربعة ارتفاعه 9 سم وطول ضلع قاعدته 5 سم، فما هي مساحته الكلية؟ الحل: يتم إيجاد محيط القاعدة بضرب طول ضلعها في 4، أي 5 × 4 = 20 سم، ثم إيجاد مساحتها من خلال ضرب طول الضلع في نفسه، أي 5 × 5 = 25 سم 2. وبالتالي يتم حساب مساحة المنشور الرباعي بتطبيق المعادلة التالية: محيط القاعدة x الارتفاع+ 2 x مساحة القاعدة، لتكون المعادلة كالتالي: 20 × 9 + 2 25x. لتصبح مساحة المنشور= 230 سم 2. مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة
أما إذا كان المنشور الرباعي يمتلك قاعدة مستطيلة، فيتم حساب مساحته الكلية بالمعادلة التالية: (الطول x العرض) 2x+ (الطول x الارتفاع) 2x+ (العرض x الارتفاع) 2x.
رواد الغزل الصريح عمر بن أبي ربيعة والعرجي في مكة المكرمة، والأحوص في المدينة المنورة، والبيت الذي نحن بصدد الحديث عنه اليوم للعرجي، واسمه عبد الله بن عمر بن عمرو بن عثمان بن عفان، وله قرابة للنبي الكريم من جهة الأم، ولقب بالعرجي نسبة إلى موضع يقال له "عرج الطائف" كما ذكر ابن قتيبة والحصري والمبرد وابن خلكان، ولم تذكر المصادر تاريخ ولادته ولا مكان الولادة، واختلفوا في وقت وفاته فذكر بعضهم أنه لقي ربه سنة 93 هجرًا، ورجح آخرون أن وفاته كانت سنة 120هجريًا. أضاعوني وأي فتى أضاعوا ... ~ يراع ـ البيضاوي. ومناسبة القصيدة التي يشملها البيت تدخل في إطار الغزل الصريح، لكنه غزل تمخض عن سياسة! فقد رغب العرجي في منصب سياسي في خلافة هشام بن عبد الملك، وتطلعت نفسه لولاية مكة، وكان محمد بن هشام المخزومي خال الخليفة يتلمس نفس المنصب الذي يريده العرجي؛ فأسند الخليفة ولاية مكة لخاله، وهنا بدأ الصدام بين العرجي والمخزومي، ولجأ كلُّ واحدٍ لسلاحه. ارتكز المخزومي على ابن اخته الخليفة، وتحصّن العرجي بشعره ولسانه؛ فتغزل غزلًا صريحًا في أم المخزومي، وسجنه المخزومي تسع سنوات، وقد ذكر قصة سجنه في مواضع عدة من شعره، والذي يعنينا من ذلك هو قوله: أضاعوني وأيَّ فتىً أضاعوا ليومِ كريهةٍ وسِدادِ ثغر مات العرجي في السجن؛ فلما أفضت الخلافة إلى الوليد بن يزيد بن عبد الملك، قبض على محمد بن هشام المخزومي وسجنه وضربه بالسياط - حتى أدماه ومات متأثرًا بالضرب - انتقامًا للعرجي.
أضاعوني وأي فتى أضاعوا ... ~ يراع ـ البيضاوي
وكان كثيراً ما يغني:
أضاعوني وأي فتًى أضاعوا
ليوم كريهةٍ وسِداد ثـَغْـر
فلقيه العسس ليلةً فأخذوه وحبس، ففقد أبو حنيفة صوته تلك الليلة، فسأل عنه من غدٍ فأخبِر، فركب إلى عيسى بن موسى فقال له: إن لي جارًا أخذه عسسك البارحة فحبس، وما علمت منه إلا خيرًا. فقال عيسى: سلموا إلى أبي حنيفة كل من أخذه العسس البارحة، فأطلقوا جميعًا. فلما خرج الفتى دعا به أبو حنيفة، وقال له سرًا: ألست كنت تغني يا فتىً كل ليلة:
أضاعوني واي فتىً أضاعوا ؟
فهل أضعناك؟ قال: لا والله أيها القاضي، ولكن أحسنت وتكرمت، أحسن الله جزاءك! قال: فعد إلى ما كنت تغنيه، فإني كنت آنس به، ولم أر به باسًا. قال: أفعل. حكاية كناس بالبصرة كان يتمثل بهذا البيت
قال الأصمعي: مررت بكناسٍ بالبصرة يكنُس كنيفًا ويغني:
أضاعوني وأي فتىً أضاعوا
ليوم كريهةٍ وسداد ثـغـر
فقلت له: أما سداد الكنيف فأنت مليءٌ به. وأما الثغر فلا علم لي بك كيف أنت فيه – وكنت حديث السن فأردت العبث به – فأعرض عني مليًا، ثم أقبل علي فأنشد متمثلاً:
وأكرِم نفسي إنني إنْ أهنتُهـا
وحقِّك لم تكرُمْ على أحدٍ بعدي
قال فقلت له: والله ما يكون من الهوان شيءٌ أكثر مما بذلتها له، فبأي شيءٍ أكرمتها؟ فقال: بلى!
أما ورودُه في مختارات أبي تمام كما زعموا فلا أرى ذكره فيها بعد تنقيب. الهوامش:
(1) التضمين يكون في بيت وفي شطر بيت، والشعراء يتولعون به كثيراً، وهو من صنعة البديع، قاله الشريسي في شرح مقامات الحريري (4: 142، ط: القاهرة)