الاستقراء الرياضي هو طريقة إثبات رياضية تُستخدم عادةً لإثبات أن جملة معينة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية (الأعداد الصحيحة غير السالبة)، يتم ذلك عن طريق إثبات أن العبارة الأولى في التسلسل اللانهائي من العبارات صحيحة، ثم إثبات أنه إذا كانت أي جملة واحدة في التسلسل اللانهائي من العبارات صحيحة، فإن الجملة التالية تكون كذلك. [1]
مفهوم الاستقراء الرياضي
إحدى الطرق المختلفة لإثبات الافتراضات الرياضية، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي. مبدأ الاستقراء الرياضي
تسمى فئة الأعداد الصحيحة بالوراثة إذا كان أي عدد صحيح x ينتمي إلى الفئة، فإن خليفة x (أي العدد الصحيح x + 1) ينتمي أيضًا إلى الفئة. مبدأ الاستقراء الرياضي هو: إذا كان العدد الصحيح 0 ينتمي إلى الفئة F وكان F وراثيًا، فكل عدد صحيح غير سالب ينتمي إلى F، بدلاً من ذلك، إذا كان العدد الصحيح 1 ينتمي إلى الفئة F و F هو وراثي، فإن كل عدد صحيح موجب ينتمي إلى F، يتم ذكر المبدأ في بعض الأحيان في شكل واحد، وأحيانًا في الآخر، نظرًا لأنه من السهل إثبات أي شكل من أشكال المبدأ كنتيجة للآخر، فليس من الضروري التمييز بين الاثنين. غالبًا ما يتم ذكر المبدأ في شكل مكثف: تسمى خاصية الأعداد الصحيحة بالوراثة، إذا كان لأي عدد صحيح x خاصية، فإن خلفها له الخاصية.
مبدأ الاستنتاج الرياضي
إذا كان للعدد الصحيح 1 خاصية معينة وكانت هذه الخاصية وراثية، فإن كل عدد صحيح موجب له الخاصية. البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي
مثال على تطبيق الاستقراء الرياضي في أبسط الحالات هو الدليل على أن مجموع أول n من الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية هو n 2 أي أن
(1. ) 1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n 2
لكل عدد صحيح موجب n، لنفترض أن F هي فئة الأعداد الصحيحة التي تحمل المعادلة (1. ) لها؛ إذن، العدد الصحيح 1 ينتمي إلى F، لأن 1 = 12، إذا كان أي عدد صحيح x ينتمي إلى F، إذن
(2. ) 1 + 3 + 5 +⋯+ (2x − 1) = x 2
العدد الصحيح الفردي التالي بعد 2x − 1 هو 2x + 1، وعندما يضاف إلى كلا طرفي المعادلة (2. ) ، تكون النتيجة هي
(3. ) 1 + 3 + 5 +⋯+ (2x + 1) = x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2
تسمى المعادلة (2. ) فرضية الاستقراء وتنص على أن المعادلة (1. ) تصمد عندما تكون n هي x ، بينما تنص المعادلة (3. ) على أن المعادلة (1. ) تصمد عندما تكون n هي x + 1، نظرًا لأن المعادلة (3. ) ، كنتيجة للمعادلة (2. ) ، فقد ثبت أنه عندما ينتمي x إلى F، فإن خليفة x ينتمي إلى F، ومن ثم وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي، فإن جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية تنتمي إلى F.
لإثبات أن علاقة ثنائية معينة F تحمل بين جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، يكفي أن نظهر أولاً أن العلاقة F بين 1 و 1؛ ثانيًا، عندما تحمل F بين x و y، فإنها تثبت بين x و y + 1 ؛ وثالثًا، عندما تحمل F بين x وعدد صحيح موجب معين z (والذي قد يكون ثابتًا أو يعتمد على x)، فإنه يثبت بين x + 1 و 1.
الباحثون السوريون - الاستقراء الرّياضيّ
من المعلوم أنّ المنهج المتّبَع في الرّياضيّات منهجٌ استنباطيٌّ يعتمد على التّجريد والانطلاق من معطياتٍ عامّةٍ تشمل الحالاتِ الخاصّةَ، وهو المنهج المتّبَع على سبيل المثال في حلّ المعادلات الرّياضيّة. وعلى النّقيض من ذلك؛ نجد أنّ الحقائق العلميّة التّجريبيّة غالبًا ما تعتمد على المنهج الاستقرائيّ في دراسة الحالات الخاصّة كلٌّ على حدةٍ عن طريق إجراء تجاربَ وإسقاط ما تُوُصِّل إليه من ملاحظاتٍ على الحالات بقيّتِها طبقًا لقاعدة التّعميم. وليس مبدأُ الاستقراء حكرًا على العلوم التّجريبيّة، فقد أُدخِلَ على الرّياضيّات وشاع استخدامه في براهينها، وعلى الرّغم من وجود براهينَ استقرائيّةٍ قديمةٍ جدّاً يعود بعضُها إلى العهد الإغريقيّ والمدرسة الفيثاڠوريّة؛ يُعرَف باسكال Pascal بأنّه أوّلُ من استخدم الاستقراء في البرهان الرّياضيّ، ذلك بأنّه أوّلُ من صاغه على شكل تطبيقٍ منهجيٍّ، وأكسبه صفةً تجريديّةً أدقَّ وأشدَّ انسجامًا مع طبيعة الرّياضيّات. مبدأ الاستقراء الرّياضيّ بسيطٌ ويُستخدم للتّحقّق من أنّ عبارةً رياضيّةً (P(n تنطبق على مجموعةٍ معيّنةٍ من الأعداد. ونفصّل هذا المبدأ فيما يلي: إذا كانت العبارة الرّياضيّة (P(n صحيحةً من أجل العدد الصّحيح n 0 ، وإذا فرضنا صحّتها من أجل كلّ عددٍ k، واقتضى هذا الفرضُ صحّتَها من أجل كلّ عددٍ k+1، فإنّها صحيحةٌ من أجل كلّ n أكبر أو تساوي n 0.
البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي ثاني ثانوي رياضيات 4 الفصل الدراسي الثاني الدرس 6-2 - Eshrhly | اشرحلي
هاتان الخطوتان تنشئان الخاصية P ( n) لكل رقم طبيعي n = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، … لا يلزم أن تبدأ الخطوة الأساسية بصفر ، و غالبًا ما يبدأ بالرقم الأول ، و يمكن أن يبدأ بأي رقم طبيعي ، مما يثبت حقيقة الخاصية لجميع الأعداد الطبيعية التي تزيد عن أو تساوي رقم البداية. – يمكن تمديد هذه الطريقة لإثبات البيانات حول طرق أكثر عمومية جيدة ، مثل الأشجار ؛ هذا التعميم، والمعروفة باسم الحث الهيكلي ، و يستخدم في المنطق الرياضي و علوم الكمبيوتر ، و يرتبط الاستفراء الرياضي بهذا المعنى الممتد ارتباطًا وثيقًا بالرجوع ، الاستقراء الرياضي في بعض الأشكال ، هو أساس كل البراهين الصحيحة لبرامج الكمبيوتر. – على الرغم من أن اسمها قد يوحي بخلاف ذلك ، فلا ينبغي إساءة فهم الاستقراء الرياضي كشكل من أشكال التفكير الاستقرائي كما هو مستخدم في الفلسفة (انظر أيضًا مشكلة الاستقراء) ، الحث الرياضي هو قاعدة الاستدلال المستخدمة في البراهين الرسمية ، و الدليل على الحث الرياضي هو في الواقع أمثلة على الاستنتاج المنطقي. تاريخ الاستقراء الرياضي
– في 370 قبل الميلاد، درس أفلاطون مثالا مبكرا لدليل الاستقرائي الضمني ، ويمكن الاطلاع على أقدم آثار ضمنية من الاستقراء الرياضي في إقليدس ، دليل على أن عدد من حاول دراستها هو لانهائي ، و قد قيل إنه إذا كان 1،000،000 حبة من الرمال شكلت كومة ، وأزالت إزالة حبة واحدة من كومة ، ثم واحدة تشكل حبة الرمل ، و قد تم تقديم دليل ضمني من خلال الحث الرياضي للتسلسلات الحسابية في الفاخري الذي كتبه الكراجي حوالي عام 1000 ميلادي ، والذي استخدمه لإثبات النظرية ذات الحدين وخصائص مثلث باسكال.
الموسوعة العربية | مبدأ الإستقراء الرياضي
[2]
خطوات الاستنتاج الرياضي
الخطوة الأولى: (الأساس) أظهر أن P (n₀) صحيحة. الخطوة الثانية: (الفرضية الاستقرائية)، اكتب الفرضية الاستقرائية: لنفترض أن k عددًا صحيحًا بحيث يكون k ≥ n₀ و P (k) صحيحين. الخطوة الثالثة: (خطوة استقرائية). بيّن أن P (k + 1) صحيحة. في الاستقراء الرياضي يمكننا إثبات بيان المعادلة حيث يوجد عدد غير محدود من الأعداد الطبيعية ولكن لا يتعين علينا إثبات ذلك لكل رقم منفصل. نحن نستخدم خطوتين فقط لإثبات ذلك وهما الخطوة الأساسية والخطوة الاستقرائية لإثبات البيان بالكامل لجميع الحالات، من الناحية العملية، ليس من الممكن إثبات بيان أو صيغة رياضية أو معادلة لجميع الأعداد الطبيعية ولكن يمكننا تعميم العبارة عن طريق إثباتها بطريقة الاستقراء. كما لو كانت العبارة صحيحة بالنسبة لـ P (k) ، فسيكون ذلك صحيحًا بالنسبة ل P (k + 1) ، لذلك إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لـ P (1) فيمكن إثبات ذلك لـ P (1 + 1) أو P (2) بالمثل لـ P (3) و P (4) وهكذا حتى ن أعداد طبيعية. الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي
في الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي، يكون المبدأ الأول هو إذا تم إثبات الخطوة الأساسية والخطوة الاستقرائية، فإن P (n) صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية، في الخطوة الاستقرائية، نحتاج إلى افتراض أن P (k) صحيحة ويسمى هذا الافتراض باسم فرضية الاستقراء، باستخدام هذا الافتراض، نثبت صحة، P (k + 1) أثناء إثبات الحالة الأساسية، يمكننا أخذ P (0) أو P (1).
البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي - Youtube
6 ـ ومن أنواع الاستقراء التام الاستقراء الرياضي وهو انتقال من الخاص إلى العام، أو من العام إلى الأعم، وهذا الاستقراء الذي ذكره (هنري بوانكاريه) فبين أن القضية إذا كانت صادقة بالنسبة إلى (ب = 1) و(ب = 2)، كانت صادقة بالنسبة إلى جملة ( ب + 1) وغيرها من الأعداد التامة، وكان (بوترو) قد أشاؤ إليه قبله، فبين أن الرياضيين يبرهنون أولا على قضية خاصة جزئية، ثم ينتقلون منها إلى قضية أعم منها. ويسمي (هنري بوانكاريه) هذا الاستقراء الرياضي بالاستدلال الرجعي. 7 ـ وأما الاستقراء الناقص فهو الحكم على الكلي بما حكم به على بعض جزئياته، لأن الحكم لو كان موجودا في جميع الجزئيات، لم يكن استقراء ناقصا بل استقراء تاما. 8 ـ والمثال من ذلك قولنا: أن حجم كل (غاز) متناسب والضغط الواقع عليه تناسبا عكسيا، لأن الهيدروجين والأوكسجين والآزوت وغيرها تحقق ذلك. ففي هذا الاستقراء انتقال من الحكم على بعض جزئيات الكلي إلى الحكم على جميع جزئياته، وهو لا يفيد يقينا تاما، بل يفيد ظنا لجواز وجود جزئي آخر لم يستقرأ ويكون حكمه مخالفا للجزئيات التي استقرئت. ((بل ربما كان المختلف فيه والمطلوب بخلاف حكم جميع ما سواه)) (ابن سينا الإشارات صفحة 64).
يعتمد البرهان الرياضي على ثلاث خطوات الاول هي اثبات ان الرهان صحيح عند الواحد الصحيح ثم بعد ذلك نفرض ان البرهان صحيح عند عدد معين والخطوة الاخيرة هي اثبات ان البرهان صحيح عند العدد الذي يليه
تاريخ الاستقراء الرياضي؟
من اقدم البراهين المتعلقة بالاستقراء الرياضي هو برهان اقليدس ان الاعداد الاولية غير منتهية
إذا رأت أنها تسافر برفقة زوجها دل لذلك أن الله سوف يحقق لها كل ما تحلم وتتمنى. إذا رأت أنها تسافر إلى أمريكا بالطائرة تشير هذه الرؤيا عن قدوم مكاسب مالية لها في الأيام القادمة. لكن إذا شاهدت أنها تشعر بالحزن عند السفر هذه علامة أنها سوف تعاني من بعض المشاكل الصحية وقت الولادة. تفسير حلم السفر إلى أمريكا مع العائلة
تشير رؤية السفر إلى أمريكا مع العائلة، على قوة العلاقة بينهم والاستقرار والطمأنينة. كما أنها تدل على قدوم الرزق الوفير للعائلة، والحياة الهادئة. ومن رأى أنه يسافر مع عائلته لطلب للعلم تشير تلك الرؤيا عن تفوقه الدراسي، ونجاح علاقات. أما في حالة المرأة المتزوجة تدل على الأبناء الصالحين والاستقرار في حياتها الزوجية والرزق لزوجها. تفسير حلم السفر الى الامارات – موقع منام. شاهد أيضًا: تفسير الطيران في المنام لابن سيرين وابن شاهين والنابلسي
تفسير السفر إلى أمريكا للمرأة المطلقة
قال الإمام ابن شاهين أن رؤية السفر إلى أمريكا للمرأة المطلقة هي من العلامات المحمودة، التي ترمز على التخلص من الهم والغم، وتبشر بانتهاء أحزانها، وقدوم حياة جديدة لها. إذا رأت في منامها أنها تسافر إلى أمريكا باستخدام السيارة دل ذلك أنها سوف تحصل على مال وفير، ولكنها تواجه بعض الصعوبات.
تفسير حلم السفر الى الامارات – موقع منام
المحتويات:حلم التجهيز للسفر في منام البنت العزباء المتزوجه للحامل بالسيارة بالطائرة سفر الزوج الى امريكا رؤية شخص مسافر
تفسير السفر في المنام
بشكل عام السفر في الحلم بأي وسلة من وسائل المواصلات يعكس مشوار حياتك في الواقع، فالسفر في الحلم هو المضي قدماً في هذه الحياة
السفر الى الخارج يدل على التنقل من مكان الى اًخر وعلى الانتقال من حال الى حال اًخر. من رأى أنه يسافر في المنام فإنه يمسح أرض ومن مسح ارض سافر كذلك. حلمت اني سافرت اسرائيل - تفسير الاحلام , موسوعة تفسير الأحلام , تفسير الاحلام مركزي , مجانا. من سافر في المنام من مكان الى مكان أفضل منه عنى الأمر أنه سينتقل من حال الى حال أفضل
إذا حلمت أنك خارج البلاد أو أنك ذاهب خارج البلاد فإن هذا ينبئ أنك ستقوم قريباً برحلة سارة وبصحبة مجموعة وستجد أن من الضروري أن تبعد نفسك عن بلدك المحلي من أجل إقامة مؤقتة في مناخ مختلف
إن رأى الحالم نفسه أنه يسافر بالطائرة في الحلم سينال مركز مهم في المجتمع أو في العمل الذي سيقوم به. من سافر الى بلد اًخر قد يعني أنه سيطلق امرأته ويتزوج بأخرى
من سافر ورأى أنه لم يعد ولن يعود عنى الأمر أنه سيموت أو موته قريب. إذا رأيت أنك تسافرين بالسيارة في الحلم فإن ذلك يرمز إلى أنك ستتقدمين في مشوار حياتك المهنية وستحصلين على فرص أكبر.
حلمت اني سافرت اسرائيل - تفسير الاحلام , موسوعة تفسير الأحلام , تفسير الاحلام مركزي , مجانا
إذا كان الحالم شاب أعزب تشير تلك الرؤيا أن الله سوف يكرمه فتاة صالحة على قدر عالي من الجمال والأدب، وزواجه في القريب. إذا كانت الحالمة فتاة عزباء، تلك الرؤيا دلالة أن الله سوف يمنحها الخير وسوف تحقق كل وتتمنى. وهي من الإشارات التي تبشر تنجح في حياتها الدراسية، وسوف تصل إلى مكانة مرموقة والله أعلم. تفسير حلم السفر الى امريكا للمتزوجة
إذا رأت المتزوجة أنها تسافر إلى أمريكا وهي تشعر بالسعادة، دل ذلك على تخلصها من هم كبير كانت تعاني منه. وتشير رؤيا السفر إلى أمريكا وهي تبكي، دلاله أنها تعاني من قلة المال وتراكم الديون. إذا رأت أنها تسافر إلى أمريكا بالطائرة، هذا دليل أنها سوف تحصد خير كثير، وأخبار سارة في القريب. وقال ابن شاهين حلم السفر إلى أمريكا باستخدام السيارة للمتزوجة، تشير على الاستقرار والحياة الزوجية الهادئة، كما أنها ترمز عن العلاقة القوية بين أفراد الأسرة. لكن إذا شاهدت أنها لا تشعر بالراحة في السفر، وتشعر بالحزن دل ذلك عن تعرضها اللي بعض المشاكل والصعوبات في حياتها. وقال علماء تفسير الأحلام أن المتزوجة إذا رأت أنها تسافر إلى أمريكا، هي من العلامات المحمودة التي ترمز على تحقيق الأهداف وقدوم الرزق الواسع.
تفسير رؤية السفر في المنام لأبن سيرين:
اتفق ابن سيرين مع النابلسي في تفسيرهم لحلم السفر في الحلم حيث قال ايضا ان رؤيته في المنام تشير للانتقال من مكانة إلى مكانه ومن حال إلى حال. إذا رأى الحالم أنه يسافر إلى مكان ما راكبا على خيل فهذا يشير إلى العزة والمكانة التي سينالها هذا الشخص ، وذلك إذا احسن ركوب الخيل الذي يسافر به ولم يسقط من عليه ، أما إذا رأى أنه يسافر راكبا على خيل ولكنه لا يحسن ركوبها فهذا يشير إلى فشله في بعض الامور والوقوف في هوى ومطامع النفس. إذا رأى الحالم انه وثب على رجل فهذا يشير إلى تفوقه عليه وقهره ، وذلك لان الوثوب يدل على القوة. السفر في المنام مكان إلى مكان افضل من الذي كان يعيش فيه فهذا يشير إلى تغير الحال والظروف والمعيشة إلى الافضل والعيش في حياة افضل مما كان عليه. هل حلما يوما انك تطير ؟
قد يحلم الانسان انه يسافر إلى مكان آخر راكبا وسيلة طيران مناسبة ، وقد يحلم انه يطير إلى من مكان إلى مكان آخر فهذا يشير إلى كثرة التمني والفضول وحب الاستطلاع. أثناء طيرانه إذا نزل على شيء معين فهذا يشير إلى انه سيمتلك هذا الشيء الذي سقط أو نزل على بعد طيرانه. إذا رأى الشخص أنه طار من مكان ثم وصل للمكان الذي يريد الانتقال إليه فهذا يدل على خير يأتي له من هذا السفر.