وتصبح صيغة تحليل الفرق بين مربعين بالرموز من الشكل التالي، (س 2 – ع 2) = (س- ع) X (س+ ع)، أما كصيغة عبارة جبرية فتكون بالشكل العام التالي، (المربع الكامل للحد الأول- المربع الكامل للحد الثاني) = (الحد الأول- الحد الثاني) مضروباً في (الحد الأول+ الحد الثاني). 3- أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين
إن معظم الطلبة يبحثون عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة لتوضيح هذا المفهوم وترسيخ طريقة التحليل في أذهانهم، حيث أن الأمثلة المحلولة تشكّل الجانب العملي الذي يشرح المفاهيم النظرية ويربطها بالواقع ويدعمها بشكل أكبر، وفيما يلي نوضح لكم أمثلة عن تحليل الفرق بين مربعين. المثال الأول
مثلاً عندما يكون السؤال حلل ما يلي إلى العوامل الأولية له 9 س 2 – 4، فنلاحظ أن الحد الجبري الأول 9 س 2 هو عبارة عن مربع كامل والجذر التربيعي له هو 3س، أما الحد الجبري الثاني 4 فهو عبارة عن مربع كامل جذره التربيعي هو العدد
ولتحليل الفرق بين مربعي الحدين السابقين تقوم بتطبيق القانون الذي أوضحناه في الخطوات السابقة حيث يكون ناتج عملية التحليل هو (3س- 2) X (3س+ 2). قانون الفرق بين مربعين في الرياضيات | المرسال. المثال الثاني
إذا طلب مثلاً من الطالب تحليل كثير الحدود من الشكل 3 س 2 – 27، ففي هذه الحالة يكون الأمر مختلفاً حيث نجد أن هناك عاملاً مشتركاً أكبر بين الحد الأول والحد الثاني وهذا العامل المشترك هو الرقم ثلاثة، فنقوم بإخراج الرقم ثلاثة خارج القوس قبل إجراء عملية التحليل.
- المتطابقات الاساسية 2
- قانون الفرق بين مربعين في الرياضيات | المرسال
- تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة - المنهج
المتطابقات الاساسية 2
قم ببناء 3 متوازي مستطيلات أبعاد كل منها 1×2×2 كما هو واضح في الرسم أعلاه. 3
–قم بناء 3 متوازي مستطيلات أبعاد كل منها 1×1×2 وضعها على النحو النبين أعلاه. المتطابقات الاساسية 2. 4
–قم ببناء مكعب أبعاده 1×1×1 و سمه ص 3 أي أن حرفه يساوي ص، و ضعه على
النحو المبين أعلاه. 5
–استخدم القطع التي قمت ببنائها مجتمعة و حاول بناء مكعب كبير على النحو المبين على
يسار الشكل أعلاه. أنك لاحظت أن حرف المكعب الجديد هو (س)، أي أن حجمه (س) 2 ، في حين أن
المطلوب إيجاده هو حجم المكعب الذي طول ضلعه هو (س-ص)، و هذا الحجم يساوي حجم
المكعب الأساسي س 3 مطروحا منه حجوم القطع المتبقية ، أي أن:
(س-ص) 3 = س 3 - 3(س-ص) 2 ص-3(س-ص)ص 2 –
ص 3
= س 3 -3ص (س-ص) [ (س-ص) + ص] - ص 3
= س 3 –
3س ص (س-ص) – ص 3
= س 3 – 3س 2 ص + 3س ص – ص 3
قانون الفرق بين مربعين في الرياضيات | المرسال
في هذه الحالة يمكننا أن نكتب في (أ):
(التغير في الدالة على التغير في نقطة من الدالة هو تقريباً إنحدار المسقيم المقاطع لمحنى الدالة في نقطتين متناهيتي القرب)
إذا كان الفرق بين هاتين النقطتين في العبارة (أ)، متناهي الصغر ويتوق إلى صفر ( h → 0) فالإشتقاق يعرف على أنه حدُ (أو نهاية) ( Limit) هذه العلاقة، ويكتب:
(إشتقاق الدالة في النقطة ( x) هو (f'(x و( lim) هي اختصار لفظة "حد")
تسمى هذه الطريقة بالإشتقاق حسب المبدأ الأول ( Differentiation from first principles). تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة - المنهج. يمكننا كتابة ذلك أيضاً بطريقة يحبذها الفيزيائيون كما يلي، والأمر سيان:
(حيث (y = f(x وإشتقاق الدالة (dy/dx = f'(x ؛ dx تعني تغيراً متناهي الصغر في x)
لنأخذ الآن مثالاً بسيطاً لحساب إشتقاق دالة من خلال مارأيناه لغاية الآن. لتكن الدالة التالية متغيرة في ( x):
(ب)
سنضيف كما قلنا كمية متناهية في الصغر ( h) للمتغير ( x)، إذن:
نقوم بالنّشر:
إشتقاق الدالة في ( x) يكتب على أنه:. نعوض بالقيم أعلاه، فنتحصل على:
وهكذا فإن إشتقاق الدالة هو:
(ج)
لقد وجدنا هنا عبارة تمكننا من حساب الإنحدار في أي نقطة من منحنى هذه الدالة (ش. 19)، وبالتالي معدل التغير في هذه الدالة.
تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة - المنهج
أوجد مفكوك ( س + 2) 3 باستخدام المتطابقة الرابعة. علماً أن ( س + ص) 3 = س 3 + س 2 ص
+ 3 س ص 2 + ص 3
ولذلك فإن (س+2) 3 = س 3 +3 × س 2 ×
2 + 3 س × 2 2 + 2 3
= س 3 + 6 س 2 + 12 س + 8
ومما تجدر الإشارة به هنا أنه بالإمكان بناء مكعب باستخدام القطع الجبرية حيث طول
ضلع هذا المكعب يمثل ( س + 2). باستخدام المتطابقة الأساسية الرابعة أوجد مفكوك
(س + 1) 3.
على سبيل المثال، في نقطة معينة مثل ( B) حيث ( x=0)، المنحدر يساوي 1. مالذي يعنيه هذا ؟
لنقل أن القانون (ب) يصف حركة جسم بحيث يكون موقعه محدداً في كل لحظة بما يلي:
( x تمثل هنا موقع الجسم و t الزمن)
سرعته في كل وقت هي إذن إشتقاق هذه الدالة بالنسبة للزمن (حسب ج):
( v هي سرعة الجسم)
يكفي هنا أن أعرف الوقت لأقول ماهي سرعة الجسم. مثلاً في النقطة ( (B (0, 0) (أي النقطة التي قمنا باختيارها كمرجع للزمان والمكان ش. 19) السرعة هي واحد (والأمر يبقى رهن وحدة قياس هذه السرعة). سأترك لك الأمر الآن لتعرف ما هي السرعة في النقاط ( A) و( C). حسب إشتقاق الدالة الذي تحصلنا عليه أعلاه (ج)، في أي نقطة من المنحنى تكون سرعة الجسم المتحرك صفراً ؟ مالذي يعنيه بالنسبة للحركة أن تكون قيمة الإنحدرا سالبة ؟
مشتقات دوال معروفة [ عدل]
اشتقاق (رياضيات)#مشتقات بعض الدوال المعروفة. من حسن حظنا فإن أغلب الظواهر التي سنراها في الميكانيكا الكلاسيكية تتبع قوانين تكون إما على شكل دوال معروفة أو مركبة من دوال معروفة. بطريقة عملية، لن نقوم دائماً بإجراء الإشتقاق حسب المبدأ الأول (كما رأينا في المثال أعلاه) وإنما تكون مشتقات الدوال البسيطة معروفة سلفا،ً حيث ليس علينا للحصول على مشتقات دوال أكثر تعقيداً، سوى استخدام هذه القواعد (التي تكتسب في الغالب بالمران).
حيث يتم اعتبار الحد الأول طول ضلع للمربع الأول، والحد الثاني طول ضلع للمربع الثاني، والفرق بين مربعي هذين الحدين يعتبر كأنه الفرق بين مساحة الشكلين المربعين نفسهما. تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة
1- كيفية التأكد من أن المقدار الجبري هو فرق بين مربعين
قبل شرح طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة، فيجب أن نتأكد أولاً من أن هذا المقدار الجبري أو هذه المعادلة هي من الشكل العام لقانون الفرق بين مربعي حدين وأنه يمكن استخدامه في حلها. ويتم التأكد من ذلك بالنظر إلى عدة أمور، منها أن ننتبه إلى أن هذه المعادلة تحتوي فقط على حدين جبريين وليس أكثر. إضافة إلى التأكد من أن هذين الحدين هما مربعين كاملين، وفي حال لم يكونا كذلك فيجب أن نحاول إيجاد العامل المشترك بينهما إن أمكن ذلك. الانتباه إلى إشارة كل من الحدين، حيث تكون إشارة الحد الأول الكبير موجبة وتكون إشارة الحد الثاني الصغير المطروح من الحد الأول سالبة، إضافة إلى أن الأس في كلا الحدين يكون موجباً ويساوي العدد اثنين أو من مضاعفاته. 2- طريقة تحليل الفرق بين مربعين
وبعد أن عرفنا مفهوم الفرق بين مربعين وكيفية التأكد من شكله العام، نصل الآن إلى طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة عن ذلك والتي سنذكرها بعد قليل، حيث أن طريقة تحليله بسيطة جداً وغير معقدة، ومن السهل على الطلبة أن يفهموها بشكل جيد من خلال الخطوات التالية.